Combinações: Tudo o Que Você Precisa Saber em Análise Combinatória
Combinações: Tudo o Que Você Precisa Saber em Análise Combinatória
O Que São Combinações?
As combinações são uma parte essencial da análise combinatória. Elas representam a forma de selecionar elementos de um conjunto sem se preocupar com a ordem. Essa técnica é amplamente utilizada em provas como o ENEM, concursos e a OBMEP, sendo fundamental para resolver problemas do dia a dia matemático. 🎯
Fórmula das Combinações
A fórmula para calcular combinações é dada por:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Onde:
- n: Total de elementos do conjunto
- k: Número de elementos escolhidos
- n!: Fatorial de n, ou seja, o produto de todos os números inteiros de 1 até n.
Exemplo Prático
Vamos a um exemplo para entender melhor:
Problema: Uma escola quer formar uma comissão de 3 alunos a partir de um grupo de 5. De quantas maneiras diferentes essa comissão pode ser formada?
Resolução:
Utilizando a fórmula de combinações:
\[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 \]
Portanto, existem 10 maneiras de formar essa comissão.
Por Que Aprender Combinações?
- É um conteúdo muito comum em provas como ENEM e OBMEP.
- Ajuda a desenvolver o raciocínio lógico e habilidades de resolução de problemas.
- É utilizado em diversas áreas como probabilidade, estatística e ciência de dados.
FAQ – Perguntas Frequentes
A análise combinatória é a área da matemática que estuda as diferentes maneiras de agrupar ou organizar elementos de um conjunto.
Nas combinações, a ordem dos elementos não importa, enquanto nas permutações a ordem é relevante.
Uma estratégia é simplificar o fatorial antes de multiplicar. Por exemplo, em \( \frac{5!}{3!} \), você pode cancelar os termos comuns: \( 5 \cdot 4 \).
Conclusão
Aprender sobre combinações não é apenas útil para provas e competições, mas também para resolver problemas reais e desenvolver habilidades matemáticas essenciais. 🎓 Comece agora a praticar e veja como a matemática pode ser fascinante! 💡
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📝 Questão 1
Uma comissão de 3 pessoas será formada a partir de um grupo de 7 candidatos. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?
A) 35
B) 21
C) 28
D) 42
Resolução:
Usamos a fórmula da combinação: \\( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \\), onde \( n = 7 \) e \( k = 3 \).
Substituindo os valores:
\[ C(7, 3) = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \]
Resposta correta: A) 35
📝 Questão 2
Em um concurso, 5 questões devem ser escolhidas aleatoriamente de um banco de 10 questões. De quantas maneiras diferentes isso pode ser feito?
A) 252
B) 210
C) 120
D) 302
Resolução:
Usamos a fórmula da combinação: \\( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \\), onde \( n = 10 \) e \( k = 5 \).
Substituindo os valores:
\[ C(10, 5) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252 \]
Resposta correta: A) 252
📝 Questão 3
Uma equipe de pesquisa deseja selecionar 2 líderes para coordenar um projeto a partir de um grupo de 8 pesquisadores. De quantas formas diferentes os líderes podem ser escolhidos?
A) 28
B) 36
C) 45
D) 56
Resolução:
Usamos a fórmula da combinação: \\( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \\), onde \( n = 8 \) e \( k = 2 \).
Substituindo os valores:
\[ C(8, 2) = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \]
Resposta correta: A) 28
📝 Questão 4
Uma empresa possui 10 departamentos, mas precisa formar um comitê com representantes de 4 desses departamentos. Quantas formas distintas existem para formar esse comitê?
A) 120
B) 210
C) 210
D) 120
Resolução:
Usamos a fórmula da combinação: \\( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \\), onde \( n = 10 \) e \( k = 4 \).
Substituindo os valores:
\[ C(10, 4) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \]
Resposta correta: B) 210
📝 Questão 5
Quantas comissões de 4 membros podem ser formadas a partir de um grupo de 10 pessoas?
A) 120
B) 210
C) 252
D) 302
Resolução:
Usamos a fórmula de combinações simples:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \]
Substituímos \(n = 10\) e \(k = 4\):
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \]
Resposta correta: B) 210
📝 Questão 6
Uma empresa deseja selecionar 3 funcionários para uma viagem de negócios entre os 8 disponíveis. De quantas maneiras essa seleção pode ser feita?
A) 56
B) 72
C) 80
D) 84
Resolução:
Usamos a fórmula de combinações simples:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \]
Substituímos \(n = 8\) e \(k = 3\):
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \]
Resposta correta: A) 56
📝 Questão 7
Uma escola quer formar um grupo de 5 estudantes para um projeto especial, escolhendo entre 12 alunos. Qual o número de combinações possíveis?
A) 792
B) 840
C) 924
D) 1000
Resolução:
Usamos a fórmula de combinações simples:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \]
Substituímos \(n = 12\) e \(k = 5\):
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792 \]
Resposta correta: A) 792
📝 Questão 8
Uma equipe esportiva possui 15 jogadores. O técnico quer escolher 6 para um amistoso. Quantas equipes diferentes podem ser formadas?
A) 3003
B) 4004
C) 5005
D) 6006
Resolução:
Usamos a fórmula de combinações simples:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \]
Substituímos \(n = 15\) e \(k = 6\):
\[ \binom{15}{6} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5005 \]
Resposta correta: C) 5005
📝 Questão 9
Quantos grupos de 3 pessoas podem ser formados a partir de um total de 10 pessoas?
A) 100
B) 120
C) 720
D) 45
Resolução:
O número de combinações é dado por \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), onde \( n = 10 \) e \( k = 3 \):
\[ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120. \]
Resposta correta: B) 120
📝 Questão 10
Uma empresa possui 8 candidatos para preencher 2 vagas. De quantas maneiras diferentes os candidatos podem ser escolhidos?
A) 28
B) 16
C) 56
D) 36
Resolução:
O número de combinações é dado por \( \binom{n}{k} \), onde \( n = 8 \) e \( k = 2 \):
\[ \binom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28. \]
Resposta correta: A) 28
📝 Questão 11
Um professor quer escolher 4 livros de uma prateleira contendo 12 livros para levar para a sala de aula. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer isso?
A) 495
B) 1.320
C) 792
D) 3.432
Resolução:
O número de combinações é dado por \( \binom{n}{k} \), onde \( n = 12 \) e \( k = 4 \):
\[ \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495. \]
Resposta correta: A) 495
📝 Questão 12
Em um grupo de 15 pessoas, deseja-se escolher uma equipe de 5 pessoas. Quantas equipes diferentes podem ser formadas?
A) 1.200
B) 3.003
C) 5.005
D) 6.435
Resolução:
O número de combinações é dado por \( \binom{n}{k} \), onde \( n = 15 \) e \( k = 5 \):
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3.003. \]
Resposta correta: B) 3.003
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