Progressão Aritmética: Exercícios para Praticar

Progressão Aritmética: Exercícios Resolvidos e Propostos

Olá, estudante! Prepare-se para explorar o fascinante mundo das progressões aritméticas (PA). Este artigo foi cuidadosamente elaborado para te ajudar a dominar este tema fundamental da matemática. As progressões aritméticas não são apenas conceitos abstratos, mas ferramentas poderosas que aparecem em diversos contextos, inclusive em concursos e vestibulares. Dominar PA, portanto, é crucial para o seu sucesso acadêmico.

Primeiramente, é importante entender que uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante, chamada razão, ao termo anterior. Essa característica simples, mas poderosa, possibilita resolver problemas complexos de forma organizada e eficiente. Assim, vamos aprofundar nosso conhecimento com exemplos e exercícios práticos. Afinal, a prática leva à perfeição!

O que é uma Progressão Aritmética?

Em suma, uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números onde a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença é chamada de razão da PA e é representada pela letra ‘r’. Por exemplo, na sequência 2, 5, 8, 11, 14…, a razão é 3, pois cada número é obtido somando 3 ao anterior.

Importância da Progressão Aritmética

As progressões aritméticas são um tema recorrente em provas de concursos e vestibulares. Portanto, dominar seus conceitos e fórmulas é essencial para obter bons resultados. Além disso, entender PAs ajuda a desenvolver o raciocínio lógico e a capacidade de resolver problemas de forma estruturada. Elas também são aplicadas em diversas áreas como finanças, física e até mesmo em situações do cotidiano. Dessa forma, o estudo de progressões aritméticas não é apenas um requisito acadêmico, mas também uma ferramenta para a vida.

Exemplo Prático de Progressão Aritmética

Agora, vamos a um exemplo prático para consolidar o conceito de progressão aritmética. Imagine que você está construindo uma pilha de blocos, e cada nova camada tem 2 blocos a mais do que a anterior. Se a primeira camada tem 3 blocos, como calcular quantos blocos terá a décima camada?

Este é um problema típico de progressão aritmética. A primeira camada tem 3 blocos (a₁ = 3) e a razão (r) é 2. Para encontrar o número de blocos na décima camada (a₁₀), podemos usar a fórmula do termo geral de uma PA:

\[ a_n = a_1 + (n – 1)r \]

Onde:

\(a_n\) é o n-ésimo termo;
\(a_1\) é o primeiro termo;
\(n\) é a posição do termo na sequência;
\(r\) é a razão.

Aplicando a fórmula com os nossos dados (n = 10, a₁ = 3 e r = 2), temos:

\[ a_{10} = 3 + (10 – 1) \times 2 \]

\[ a_{10} = 3 + 9 \times 2 \]

\[ a_{10} = 3 + 18 \]

\[ a_{10} = 21 \]

Assim, a décima camada terá 21 blocos.

Progressão Aritmética: Exercícios Resolvidos

Posteriormente, vamos agora resolver alguns exercícios para fixar o conteúdo. Lembre-se, a prática é essencial para dominar o assunto.

Exercício Resolvido 1

Um ciclista percorre 20 metros no primeiro segundo de seu treino. Em cada segundo seguinte, ele percorre 3 metros a mais que no segundo anterior. Quantos metros o ciclista percorrerá em 10 segundos?

Solução:

Essa é uma progressão aritmética onde \( a_1 = 20 \) e \( r = 3 \). Queremos encontrar \( a_{10} \) e a soma dos 10 primeiros termos \( S_{10} \).

Primeiro, calculamos o décimo termo usando a fórmula:

\[ a_{10} = a_1 + (10 – 1)r \]

\[ a_{10} = 20 + (9) \times 3 \]

\[ a_{10} = 20 + 27 \]

\[ a_{10} = 47 \]

Agora, calculamos a soma dos 10 primeiros termos, utilizando a fórmula:

\[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \]

\[ S_{10} = \frac{10(20 + 47)}{2} \]

\[ S_{10} = \frac{10 \times 67}{2} \]

\[ S_{10} = 5 \times 67 \]

\[ S_{10} = 335 \]

Portanto, o ciclista percorrerá um total de 335 metros em 10 segundos.

Exercício Resolvido 2

Em uma PA, o terceiro termo é 10 e o sexto termo é 19. Determine o primeiro termo e a razão dessa PA.

Solução:

Sabemos que \(a_3 = 10\) e \(a_6 = 19\). Usando a fórmula do termo geral, temos:

\[ a_3 = a_1 + 2r = 10 \]

\[ a_6 = a_1 + 5r = 19 \]

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:

\[ (a_1 + 5r) – (a_1 + 2r) = 19 – 10 \]

\[ 3r = 9 \]

\[ r = 3 \]

Agora, substituímos r em uma das equações para encontrar \(a_1\):

\[ a_1 + 2 \times 3 = 10 \]

\[ a_1 + 6 = 10 \]

\[ a_1 = 4 \]

Logo, o primeiro termo é 4 e a razão é 3.

Progressão Aritmética: Exercícios Propostos

Agora, vamos aos exercícios propostos. Tente resolver cada um e, em caso de dificuldade, clique no botão “Ver Resposta” para ver a resolução detalhada. Lembre-se, o segredo é praticar!

Exercício Proposto 1

Um teatro possui 20 fileiras de cadeiras. Na primeira fileira, há 25 cadeiras, na segunda fileira, há 28 cadeiras, na terceira fileira, há 31 cadeiras e assim por diante. Quantas cadeiras há no teatro?

890
1070
1290
1390
1490

Resolução:

Aqui, temos uma PA onde \( a_1 = 25 \) e \( r = 3 \) e \( n = 20 \). Primeiramente, vamos encontrar o 20º termo.

\[ a_{20} = a_1 + (20-1)r \]

\[ a_{20} = 25 + 19 \times 3 \]

\[ a_{20} = 25 + 57 \]

\[ a_{20} = 82 \]

Agora, vamos encontrar a soma dos 20 primeiros termos.

\[ S_{20} = \frac{20(a_1 + a_{20})}{2} \]

\[ S_{20} = \frac{20(25 + 82)}{2} \]

\[ S_{20} = \frac{20 \times 107}{2} \]

\[ S_{20} = 10 \times 107 \]

\[ S_{20} = 1070 \]

Portanto, o teatro possui 1070 cadeiras. A resposta correta é: alternativas B.

Exercício Proposto 2

Interpole 5 termos aritméticos entre 10 e 40.

15, 20, 25, 30, 35
16, 22, 28, 34, 40
16, 21, 26, 31, 36
14, 19, 24, 29, 34
15, 22, 29, 36, 43

Resolução:

Queremos interpolar 5 termos entre 10 e 40. Isso significa que teremos uma PA com 7 termos, onde \( a_1 = 10 \) e \( a_7 = 40 \). A fórmula do termo geral é:

\[ a_n = a_1 + (n-1)r \]

Assim, temos:

\[ 40 = 10 + (7-1)r \]

\[ 40 = 10 + 6r \]

\[ 30 = 6r \]

\[ r = 5 \]

Os termos interpolados são:

\( a_2 = 10 + 5 = 15 \)
\( a_3 = 15 + 5 = 20 \)
\( a_4 = 20 + 5 = 25 \)
\( a_5 = 25 + 5 = 30 \)
\( a_6 = 30 + 5 = 35 \)

Portanto, os termos interpolados são 15, 20, 25, 30 e 35. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 3

A soma dos 10 primeiros termos de uma PA é 155. Se o primeiro termo é 2, qual é o décimo termo dessa PA?

Resolução:

Temos \(S_{10} = 155\) e \(a_1 = 2\). A fórmula da soma dos termos é:

\[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \]

Aplicando os valores, temos:

\[ 155 = \frac{10(2 + a_{10})}{2} \]

\[ 155 = 5(2 + a_{10}) \]

\[ 31 = 2 + a_{10} \]

\[ a_{10} = 29 \]

Portanto, o décimo termo é 29. A alternativa correta é: Nenhuma das alternativas anteriores.

Exercício Proposto 4

Em uma PA, o quarto termo é 12 e o oitavo termo é 24. Encontre o valor do 12º termo.

Resolução:

Temos \(a_4 = 12\) e \(a_8 = 24\). Usando a fórmula do termo geral:

\[ a_4 = a_1 + 3r = 12 \]

\[ a_8 = a_1 + 7r = 24 \]

Subtraindo a primeira equação da segunda:

\[ (a_1 + 7r) – (a_1 + 3r) = 24 – 12 \]

\[ 4r = 12 \]

\[ r = 3 \]

Substituindo r na primeira equação para encontrar \(a_1\):

\[ a_1 + 3 \times 3 = 12 \]

\[ a_1 = 3 \]

Agora, para encontrar o 12º termo:

\[ a_{12} = a_1 + 11r \]

\[ a_{12} = 3 + 11 \times 3 \]

\[ a_{12} = 3 + 33 \]

\[ a_{12} = 36 \]

Logo, o 12º termo é 36. A alternativa correta é a B.

Exercício Proposto 5

Uma fábrica produz 200 peças no primeiro dia. Se a produção aumenta em 15 peças a cada dia, quantas peças são produzidas em 20 dias?

5000
6500
6700
7000
7200

Resolução:

Temos \( a_1 = 200 \) e \( r = 15 \). Queremos encontrar \( S_{20} \). Primeiro, vamos encontrar o 20º termo:

\[ a_{20} = a_1 + (20 – 1)r \]

\[ a_{20} = 200 + 19 \times 15 \]

\[ a_{20} = 200 + 285 \]

\[ a_{20} = 485 \]

Agora, encontramos a soma dos 20 primeiros termos:

\[ S_{20} = \frac{20(a_1 + a_{20})}{2} \]

\[ S_{20} = \frac{20(200 + 485)}{2} \]

\[ S_{20} = \frac{20 \times 685}{2} \]

\[ S_{20} = 10 \times 685 \]

\[ S_{20} = 6850 \]

Assim, em 20 dias, são produzidas 6850 peças. A resposta correta é: Nenhuma das alternativas anteriores.

Exercício Proposto 6

O primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 3. Determine a soma dos 15 primeiros termos.

Resolução:

Temos \( a_1 = 5 \) e \( r = 3 \). Primeiro, vamos encontrar o 15º termo:

\[ a_{15} = a_1 + (15 – 1)r \]

\[ a_{15} = 5 + 14 \times 3 \]

\[ a_{15} = 5 + 42 \]

\[ a_{15} = 47 \]

Agora, encontramos a soma dos 15 primeiros termos:

\[ S_{15} = \frac{15(a_1 + a_{15})}{2} \]

\[ S_{15} = \frac{15(5 + 47)}{2} \]

\[ S_{15} = \frac{15 \times 52}{2} \]

\[ S_{15} = 15 \times 26 \]

\[ S_{15} = 390 \]

Portanto, a soma dos 15 primeiros termos é 390. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 7

Qual é o 100º termo da PA (2, 6, 10, 14…)?

Resolução:

Aqui, \(a_1 = 2\) e a razão \(r = 6 – 2 = 4\). Queremos encontrar \(a_{100}\).

\[ a_{100} = a_1 + (100-1)r \]

\[ a_{100} = 2 + 99 \times 4 \]

\[ a_{100} = 2 + 396 \]

\[ a_{100} = 398 \]

Logo, o 100º termo é 398. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 8

Quantos múltiplos de 7 existem entre 100 e 1000?

Resolução:

O primeiro múltiplo de 7 após 100 é \( 105 = 7 \times 15 \) e o último antes de 1000 é \( 994 = 7 \times 142 \). Assim, temos uma PA onde \(a_1 = 105\), \(a_n = 994\) e \(r = 7\).

Usando a fórmula do termo geral:

\[ a_n = a_1 + (n-1)r \]

\[ 994 = 105 + (n-1)7 \]

\[ 889 = (n-1)7 \]

\[ 127 = n – 1 \]

\[ n = 128 \]

Dessa forma, existem 128 múltiplos de 7 entre 100 e 1000. A alternativa correta é a B.

Exercício Proposto 9

A sequência (x, x + 3, x + 6, …) é uma PA. Qual é a soma dos 20 primeiros termos em função de x?

20x + 570
20x + 575
25x + 570
25x + 575
20x + 580

Resolução:

Temos \( a_1 = x \) e \( r = 3 \). Primeiro, encontramos o 20º termo:

\[ a_{20} = x + (20 – 1) \times 3 \]

\[ a_{20} = x + 19 \times 3 \]

\[ a_{20} = x + 57 \]

Agora, calculamos a soma dos 20 primeiros termos:

\[ S_{20} = \frac{20(a_1 + a_{20})}{2} \]

\[ S_{20} = \frac{20(x + x + 57)}{2} \]

\[ S_{20} = \frac{20(2x + 57)}{2} \]

\[ S_{20} = 10(2x + 57) \]

\[ S_{20} = 20x + 570 \]

Assim, a soma dos 20 primeiros termos é 20x + 570. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 10

Em uma PA de 10 termos, o primeiro termo é 5 e a soma de todos os termos é 320. Qual é a razão dessa PA?

Resolução:

Temos \(n = 10\), \(a_1 = 5\) e \(S_{10} = 320\). Usando a fórmula da soma:

\[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \]

\[ 320 = \frac{10(5 + a_{10})}{2} \]

\[ 320 = 5(5 + a_{10}) \]

\[ 64 = 5 + a_{10} \]

\[ a_{10} = 59 \]

Agora, usamos a fórmula do termo geral:

\[ a_{10} = a_1 + 9r \]

\[ 59 = 5 + 9r \]

\[ 54 = 9r \]

\[ r = 6 \]

Portanto, a razão da PA é 6. A alternativa correta é a C.

Enfim, esperamos que este artigo tenha sido útil para seu aprendizado. Contudo, não se esqueça de que a prática constante é a chave para o sucesso. Se você quiser se aprofundar ainda mais, aliás, sugerimos que você visite nosso artigo completo sobre progressões aritméticas: Progressão Aritmética: Guia Completo. Além disso, não deixe de conferir nosso canal no YouTube, Matemática Explorada, onde você encontrará diversas videoaulas e exercícios resolvidos para aprimorar seus conhecimentos.

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