Matemática Explorada

Progressão Geométrica (PG): Dominando os Conceitos de Forma Simples! 🎯

Introdução 📚

Olá, estudante! Hoje vamos mergulhar no fascinante mundo da Progressão Geométrica (PG). Não se assuste com o nome! Após este artigo, você verá que é um conceito muito mais simples do que parece.

O que é uma Progressão Geométrica? 🤔

Imagine que você está dobrando uma folha de papel várias vezes. Cada vez que dobra, a espessura multiplica por 2. Se começar com 0,1mm, terá:

• 1ª dobra: 0,2mm
• 2ª dobra: 0,4mm
• 3ª dobra: 0,8mm

Percebeu o padrão? Cada número é multiplicado sempre pelo mesmo valor (neste caso, 2) para obter o próximo. Este número que multiplica é chamado de razão da PG, representado pela letra q.

Características Principais ⭐

1. Definição Formal

Uma Progressão Geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q (razão).

2. Fórmula do Termo Geral

Para encontrar qualquer termo de uma PG, usamos a fórmula:

an = a₁ · q^(n-1)

Onde:

• an = termo que queremos encontrar
• a₁ = primeiro termo
• q = razão
• n = posição do termo

3. Soma dos Termos

Para PG finita com n termos:

Sn = a₁(q^n – 1)/(q – 1), para q ≠ 1

Para PG infinita com |q| < 1:

S∞ = a₁/(1 – q)

Aplicações Práticas 🌎

1. Juros Compostos: O crescimento do dinheiro em investimentos
2. Crescimento Populacional: Análise do aumento de população
3. Fenômenos Naturais: Como a divisão celular

Dicas de Ouro para Resolver Exercícios ✨

1. Identifique os Elementos: Procure sempre o primeiro termo (a₁) e a razão (q)
2. Verifique o Padrão: Divida um termo pelo anterior para encontrar a razão
3. Use a Fórmula Adequada: Escolha entre termo geral ou soma dos termos

Exemplos Resolvidos 📝

Exemplo 1:

Em uma PG onde a₁ = 2 e q = 3, qual é o 5º termo?

Resolução:

• Usando a fórmula: an = a₁ · q^(n-1)
• a₅ = 2 · 3⁴
• a₅ = 2 · 81
• a₅ = 162

Exemplo 2:

Qual é a soma dos primeiros 6 termos de uma PG onde a₁ = 1 e q = 2?

Resolução:

• Usando a fórmula: Sn = a₁(q^n – 1)/(q – 1)
• S₆ = 1(2⁶ – 1)/(2 – 1)
• S₆ = (64 – 1)/1
• S₆ = 63

Hora de Praticar! 💪

Agora que você já entendeu os conceitos fundamentais, vamos partir para os exercícios? Vou apresentar as questões uma a uma, com resoluções detalhadas para fixar o aprendizado.

Conclusão 🎉

A Progressão Geométrica é uma ferramenta matemática poderosa que nos ajuda a entender diversos fenômenos do mundo real. Com prática e dedicação, você dominará este conteúdo!

📝 Questão 1

Em uma progressão geométrica, o primeiro termo é 6 e o quarto termo é 48. Determine a razão desta PG e o seu sexto termo.

a) q = 2; a₆ = 192
b) q = 3; a₆ = 96
c) q = 2; a₆ = 96
d) q = 1,5; a₆ = 162
e) q = 2; a₆ = 384

📝 Questão 2

A soma dos primeiros 5 termos de uma PG é 31 e o primeiro termo é 1. Sabendo que a razão é um número inteiro positivo, determine o valor dessa razão.

a) 3
b) 2
c) 4
d) 5
e) 1

📝 Questão 3

Uma cultura de bactérias dobra sua população a cada hora. Se inicialmente havia 100 bactérias, quantas bactérias haverá após 5 horas?

a) 1.600
b) 3.200
c) 2.000
d) 3.600
e) 3.000

📝 Questão 4

Em uma PG infinita decrescente, o primeiro termo é 27 e a razão é 1/3. Qual é a soma de todos os termos dessa PG?

a) 40,5
b) 81
c) 54
d) 36
e) 40

📝 Questão 5

Uma aplicação financeira rende 20% ao ano. Se um capital de R$ 1.000,00 for aplicado durante 3 anos, qual será o montante final? (Use a PG para resolver)

a) R$ 1.600,00
b) R$ 1.728,00
c) R$ 1.666,00
d) R$ 1.500,00
e) R$ 1.800,00