Matemática Explorada

Progressão Geométrica: Exercícios Resolvidos e Propostos | Guia Completo

Olá, estudante! Prepare-se para embarcar em uma jornada pelo mundo das progressões geométricas (PG), um tema essencial na matemática, com aplicações que vão muito além da sala de aula. As progressões geométricas são sequências numéricas nas quais cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, conhecida como razão. Além disso, a compreensão das PGs é fundamental para o sucesso em concursos e vestibulares, onde este tema aparece com frequência, exigindo um domínio sólido de seus conceitos e fórmulas. Portanto, este artigo foi cuidadosamente desenvolvido para guiar você através dos exercícios e exemplos práticos, a fim de solidificar seu conhecimento.

Ademais, o estudo das progressões geométricas não se limita ao contexto acadêmico; ele se estende a diversas áreas como finanças, biologia e ciência da computação, onde o crescimento exponencial é um fenômeno frequente. Assim sendo, dominar as PGs não só facilita sua aprovação em exames, mas também enriquece sua visão sobre o mundo e suas dinâmicas. Nesse sentido, vamos iniciar nossa exploração com um exemplo prático, seguido de exercícios resolvidos e propostos que abordarão os principais conceitos.

Exemplo Prático Resolvido de Progressão Geométrica

Imagine que você está criando uma comunidade online, e a quantidade de membros dobra a cada semana. Se na primeira semana você começa com 2 membros, quantos membros você terá na quinta semana? Certamente, esse é um exemplo claro de uma progressão geométrica, onde o número de membros cresce exponencialmente.

Nesse problema, o primeiro termo (a1) é 2 e a razão (q) é 2 (já que o número de membros dobra a cada semana). Para encontrar o número de membros na quinta semana (a5), usamos a fórmula do termo geral da PG:

\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]

Onde:

  • \(a_n\) é o n-ésimo termo;
  • \(a_1\) é o primeiro termo;
  • \(n\) é a posição do termo na sequência;
  • \(q\) é a razão.

Aplicando a fórmula com nossos dados (n = 5, a1 = 2 e q = 2), temos:

\[ a_5 = 2 \cdot 2^{5-1} \]
\[ a_5 = 2 \cdot 2^4 \]
\[ a_5 = 2 \cdot 16 \]
\[ a_5 = 32 \]

Desse modo, na quinta semana, sua comunidade terá 32 membros.

Progressão Geométrica: Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido 1

Uma cultura de bactérias dobra de tamanho a cada hora. Se inicialmente existem 50 bactérias, quantas bactérias haverá após 6 horas?

Solução:

Aqui, temos uma PG com \( a_1 = 50 \) e \( q = 2 \). Queremos encontrar \( a_7 \) (já que após 6 horas, teremos 7 termos, considerando o inicial):

\[ a_7 = a_1 \cdot q^{7-1} \]
\[ a_7 = 50 \cdot 2^6 \]
\[ a_7 = 50 \cdot 64 \]
\[ a_7 = 3200 \]

Portanto, após 6 horas, haverá 3200 bactérias.

Exercício Resolvido 2

Em uma PG, o segundo termo é 12 e o quinto termo é 324. Determine o primeiro termo e a razão dessa PG.

Solução:

Sabemos que \(a_2 = 12\) e \(a_5 = 324\). Usando a fórmula do termo geral, temos:

\[ a_2 = a_1 \cdot q = 12 \]
\[ a_5 = a_1 \cdot q^4 = 324 \]

Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:

\[ \frac{a_1 \cdot q^4}{a_1 \cdot q} = \frac{324}{12} \]
\[ q^3 = 27 \]
\[ q = 3 \]

Agora, substituímos q na primeira equação para encontrar \(a_1\):

\[ a_1 \cdot 3 = 12 \]
\[ a_1 = 4 \]

Logo, o primeiro termo é 4 e a razão é 3.

Progressão Geométrica: Exercícios Propostos

Agora, vamos aos exercícios propostos. Tente resolvê-los e, caso encontre dificuldades, clique no botão “Ver Resposta” para verificar a resolução detalhada. Lembre-se, a prática é fundamental para o sucesso!

Exercício Proposto 1

Uma bola é solta de uma altura de 10 metros. A cada vez que ela toca o chão, ela sobe a uma altura que corresponde a 3/4 da altura anterior. Qual será a altura que a bola atinge após o quarto toque no chão?

  1. 4.21875 metros
  2. 3.1640625 metros
  3. 5.625 metros
  4. 2.375 metros
  5. 6.50 metros

Resolução:

Temos uma PG com \( a_1 = 10 \) e \( q = \frac{3}{4} \). Queremos encontrar \( a_5 \) (já que após o quarto toque, teremos 5 termos, considerando o inicial):

\[ a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} \]
\[ a_5 = 10 \cdot (\frac{3}{4})^4 \]
\[ a_5 = 10 \cdot \frac{81}{256} \]
\[ a_5 = \frac{810}{256} \]
\[ a_5 = 3.1640625 \]

Portanto, a altura que a bola atinge após o quarto toque no chão será de 3.1640625 metros. A alternativa correta é a B.

Exercício Proposto 2

Interpole três termos geométricos entre 2 e 162.

  1. 6, 18, 54
  2. 8, 24, 72
  3. 10, 30, 90
  4. 12, 36, 108
  5. 4, 16, 64

Resolução:

Queremos interpolar 3 termos entre 2 e 162, formando uma PG com 5 termos, onde \(a_1 = 2\) e \(a_5 = 162\). Primeiro, vamos encontrar a razão:

\[ a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} \]
\[ 162 = 2 \cdot q^4 \]
\[ 81 = q^4 \]
\[ q = 3 \]

Os termos interpolados são:

  • \( a_2 = 2 \cdot 3 = 6 \)
  • \( a_3 = 6 \cdot 3 = 18 \)
  • \( a_4 = 18 \cdot 3 = 54 \)

Os termos interpolados são 6, 18 e 54. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 3

A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica é 20, e o primeiro termo é 10. Determine a razão dessa PG.

  1. 1/2
  2. 1/4
  3. 1/5
  4. 1/6
  5. 1/3

Resolução:

A soma dos infinitos termos de uma PG é dada por:

\[ S = \frac{a_1}{1 – q} \]

onde \(S = 20\) e \(a_1 = 10\). Substituindo os valores, temos:

\[ 20 = \frac{10}{1 – q} \]
\[ 20 – 20q = 10 \]
\[ 20q = 10 \]
\[ q = \frac{10}{20} \]
\[ q = \frac{1}{2} \]

Portanto, a razão da PG é 1/2. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 4

Em uma PG, o terceiro termo é 18 e o sexto termo é 486. Qual é o primeiro termo dessa PG?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
  5. 6

Resolução:

Temos \(a_3 = 18\) e \(a_6 = 486\). Usando a fórmula do termo geral:

\[ a_3 = a_1 \cdot q^2 = 18 \]
\[ a_6 = a_1 \cdot q^5 = 486 \]

Dividindo a segunda equação pela primeira:

\[ \frac{a_1 \cdot q^5}{a_1 \cdot q^2} = \frac{486}{18} \]
\[ q^3 = 27 \]
\[ q = 3 \]

Substituindo o valor de q na primeira equação:

\[ a_1 \cdot 3^2 = 18 \]
\[ a_1 \cdot 9 = 18 \]
\[ a_1 = 2 \]

Portanto, o primeiro termo é 2. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 5

Uma empresa aumenta sua produção em 10% a cada ano. Se no primeiro ano ela produziu 1000 peças, quantas peças produzirá no quarto ano?

  1. 1331
  2. 1464
  3. 1210
  4. 1332
  5. 1100

Resolução:

Temos \( a_1 = 1000 \) e \( q = 1 + 0.1 = 1.1 \) (aumento de 10%). Queremos encontrar \( a_4 \):

\[ a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} \]
\[ a_4 = 1000 \cdot (1.1)^3 \]
\[ a_4 = 1000 \cdot 1.331 \]
\[ a_4 = 1331 \]

Portanto, no quarto ano, a empresa produzirá 1331 peças. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 6

O primeiro termo de uma PG é 3 e o quinto termo é 48. Determine a soma dos 6 primeiros termos dessa PG.

  1. 189
  2. 195
  3. 200
  4. 190
  5. 210

Resolução:

Temos \( a_1 = 3 \) e \( a_5 = 48 \). Primeiro, vamos encontrar a razão:

\[ a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} \]
\[ 48 = 3 \cdot q^4 \]
\[ 16 = q^4 \]
\[ q = 2 \]

Agora, vamos encontrar a soma dos 6 primeiros termos utilizando a fórmula:

\[ S_n = \frac{a_1(q^n – 1)}{q – 1} \]
\[ S_6 = \frac{3(2^6 – 1)}{2 – 1} \]
\[ S_6 = \frac{3(64 – 1)}{1} \]
\[ S_6 = 3 \cdot 63 \]
\[ S_6 = 189 \]

Portanto, a soma dos 6 primeiros termos é 189. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 7

Qual é o oitavo termo da PG (1, 3, 9, 27…)?

  1. 2187
  2. 6561
  3. 243
  4. 729
  5. 81

Resolução:

Aqui, \(a_1 = 1\) e a razão \(q = 3\). Queremos encontrar \(a_8\).

\[ a_8 = a_1 \cdot q^{8-1} \]
\[ a_8 = 1 \cdot 3^7 \]
\[ a_8 = 2187 \]

Portanto, o oitavo termo é 2187. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 8

Uma loja oferece um desconto de 10% sobre o preço do produto a cada dia que ele permanece sem ser vendido. Se um produto custa inicialmente R$100, qual será o preço desse produto após 5 dias?

  1. R$ 60,00
  2. R$ 59,05
  3. R$ 59,20
  4. R$ 58,05
  5. R$ 59,00

Resolução:

O preço inicial é \(a_1 = 100\) e a razão é \(q = 1 – 0.1 = 0.9\) (desconto de 10%). Queremos o valor após 5 dias (6 termos):

\[ a_6 = a_1 \cdot q^{6-1} \]
\[ a_6 = 100 \cdot (0.9)^5 \]
\[ a_6 = 100 \cdot 0.59049 \]
\[ a_6 = 59.049 \]

Portanto, o preço após 5 dias será de aproximadamente R$ 59,05. A alternativa correta é a B.

Exercício Proposto 9

A sequência (2x, 4x, 8x, …) é uma PG. Qual é a soma dos 5 primeiros termos dessa PG?

  1. 62x
  2. 32x
  3. 48x
  4. 31x
  5. 52x

Resolução:

Temos \( a_1 = 2x \) e \( q = 2 \). Primeiro, calculamos a soma dos 5 primeiros termos usando a fórmula:

\[ S_n = \frac{a_1(q^n – 1)}{q – 1} \]
\[ S_5 = \frac{2x(2^5 – 1)}{2 – 1} \]
\[ S_5 = \frac{2x(32 – 1)}{1} \]
\[ S_5 = 2x \cdot 31 \]
\[ S_5 = 62x \]

Portanto, a soma dos 5 primeiros termos é 62x. A alternativa correta é a A.

Exercício Proposto 10

Em uma PG, o segundo termo é 6 e o quinto termo é 162. Qual é o valor do oitavo termo dessa PG?

  1. 4374
  2. 4375
  3. 4376
  4. 4377
  5. 4378

Resolução:

Temos \(a_2 = 6\) e \(a_5 = 162\). Primeiro, vamos encontrar a razão:

\[ a_2 = a_1 \cdot q = 6 \]
\[ a_5 = a_1 \cdot q^4 = 162 \]

Dividindo a segunda pela primeira:

\[ \frac{a_1 \cdot q^4}{a_1 \cdot q} = \frac{162}{6} \]
\[ q^3 = 27 \]
\[ q = 3 \]

Agora encontramos o primeiro termo:

\[ a_1 \cdot 3 = 6 \]
\[ a_1 = 2 \]

Finalmente, calculamos o oitavo termo:

\[ a_8 = a_1 \cdot q^{8-1} \]
\[ a_8 = 2 \cdot 3^7 \]
\[ a_8 = 2 \cdot 2187 \]
\[ a_8 = 4374 \]

Portanto, o oitavo termo é 4374. A alternativa correta é a A.

Enfim, esperamos que este artigo tenha sido útil para seu aprendizado. Contudo, não se esqueça de que a prática constante é a chave para o sucesso. Se você quiser se aprofundar ainda mais, aliás, sugerimos que você visite nosso artigo completo sobre progressões geométricas: Acessar artigo. Além disso, não deixe de conferir nosso canal no YouTube: Acessar canal, onde você encontrará diversas videoaulas e exercícios resolvidos para aprimorar seus conhecimentos.

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