Você já se perguntou como os engenheiros calculam a distribuição de força em estruturas complexas? Ou como economistas preveem o comportamento de múltiplas variáveis no mercado? A resposta está nos sistemas lineares! Este conteúdo é fundamental não apenas para concursos e vestibulares, mas também para diversas áreas profissionais. No canal Matemática Explorada do Professor Edmundo, você encontrará explicações detalhadas sobre este e outros temas essenciais da matemática. Confira: Matemática Explorada. Vamos exercitar esse conhecimento com alguns desafios práticos?
📝 Desafio 1: Sistema Linear na Prática
Em uma loja, 3 cadernos e 2 canetas custam R$ 42,00, enquanto 2 cadernos e 4 canetas custam R$ 44,00. Qual é o preço de uma caneta?
A) R$ 7,00
B) R$ 8,00
C) R$ 9,00
D) R$ 10,00
Resolução:
1) Vamos chamar o preço do caderno de x e o da caneta de y
2) Montando o sistema:
3x + 2y = 42
2x + 4y = 44
3) Multiplicando a primeira equação por -2 e a segunda por 1:
-6x – 4y = -84
2x + 4y = 44
4) Somando as equações:
-4x = -40
5) x = 10
6) Substituindo x em 3x+2y = 42: 3*10 + 2y = 42
7) 2y = 12, y = 6
Resposta correta: A) R$ 6,00
📝 Desafio 2: Mistura de Soluções
Uma solução de 12% de sal deve ser misturada com outra de 30% de sal para obter 100ml de uma solução de 18% de sal. Quantos ml da solução de 12% devem ser usados?
A) 55ml
B) 60ml
C) 65ml
D) 66,67ml
Resolução:
1) Seja x a quantidade da solução de 12% e (100-x) a quantidade da solução de 30%
2) Equação da mistura: 0,12x + 0,30(100-x) = 0,18(100)
3) Simplificando: 0,12x + 30 – 0,30x = 18
4) -0,18x + 30 = 18
5) -0,18x = -12
6) x = 12/0.18
7) x = 66.67
Resposta correta: D) 66,67ml
📝 Desafio 3: Problema de Idades
A soma das idades de três irmãos é 72 anos. Daqui a 5 anos, a idade do mais velho será o dobro da idade do mais novo. A idade do irmão do meio é a média aritmética das idades dos outros dois. Qual é a idade atual do irmão mais novo?
A) 15 anos
B) 18 anos
C) 20 anos
D) 22 anos
Resolução:
1) Sejam x, y e z as idades do mais novo, do meio e do mais velho
2) Equações:
x + y + z = 72 (I)
y = (x + z)/2 (II)
(z + 5) = 2(x + 5) (III)
3) De (II): 2y = x + z (IV)
4) De (III): z+5 = 2x+10 -> z = 2x+5 (V)
5) Substituindo (IV) em (I): x + (x+z)/2 + z = 72 -> 2x + x + z + 2z = 144 -> 3x + 3z = 144 (VI)
6) Substituindo (V) em (VI): 3x+3*(2x+5) = 144 -> 3x + 6x + 15 = 144 -> 9x = 129 -> x = 14,33
Resposta correta: A) 14,33 anos
📝 Desafio 4: Problema de Investimentos
Um investidor aplicou um total de R$ 10.000,00 em dois investimentos diferentes. O primeiro rende 8% ao ano, e o segundo rende 12% ao ano. Se o rendimento total anual foi de R$ 1.080,00, quanto foi aplicado no primeiro investimento?
A) R$ 3.000,00
B) R$ 4.000,00
C) R$ 5.000,00
D) R$ 6.000,00
Resolução:
1) Seja x o valor aplicado no primeiro investimento e (10000-x) no segundo
2) Equação: 0,08x + 0,12(10000-x) = 1080
3) 0,08x + 1200 – 0,12x = 1080
4) -0,04x = -120
5) x = 3000
Resposta correta: A) R$ 3.000,00
📝 Desafio 5: Problema da Padaria
Uma padaria vende pães e bolos. Em um dia, foram vendidos 150 itens no total, entre pães e bolos. Se cada pão custou R$ 2,00 e cada bolo R$ 5,00, e a receita total foi de R$ 450,00, quantos bolos foram vendidos?
A) 50 bolos
B) 60 bolos
C) 70 bolos
D) 80 bolos
Resolução:
1) Seja x o número de pães e y o número de bolos
2) Sistema: x + y = 150 (total de itens)
2x + 5y = 450 (receita total)
3) Da primeira equação: x = 150 – y
4) Substituindo na segunda: 2(150-y) + 5y = 450
5) 300 – 2y + 5y = 450
6) 300 + 3y = 450
7) 3y = 150
8) y = 50
Resposta correta: A) 50 bolos
📝 Desafio 6: Mistura de Café
Um vendedor de café mistura dois tipos de grãos: um que custa R$ 20,00 por kg e outro que custa R$ 35,00 por kg. Se ele quer obter 60 kg de mistura a R$ 25,00 por kg, quantos quilos do café mais caro ele deve usar?
A) 15 kg
B) 20 kg
C) 25 kg
D) 30 kg
Resolução:
1) Seja x a quantidade do café mais caro e (60-x) a do mais barato
2) Equação do custo médio: (35x + 20(60-x))/60 = 25
3) 35x + 1200 – 20x = 1500
4) 15x = 300
5) x = 20
Resposta correta: B) 20 kg
📝 Desafio 7: Problema da Fábrica
Uma fábrica produz dois tipos de peças: A e B. Cada peça do tipo A requer 3 horas de máquina e 2 horas de mão de obra. Cada peça do tipo B requer 2 horas de máquina e 4 horas de mão de obra. A fábrica dispõe de 60 horas de máquina e 64 horas de mão de obra por semana. Quantas peças do tipo A são produzidas semanalmente para maximizar a produção total?
A) 12 peças
B) 14 peças
C) 16 peças
D) 18 peças
Resolução:
1) Seja x o número de peças A e y o número de peças B
2) Sistema: 3x + 2y = 60 (horas de máquina)
2x + 4y = 64 (horas de mão de obra)
3) Da primeira equação: y = (60 – 3x)/2
4) Substituindo na segunda: 2x + 4((60 – 3x)/2) = 64
5) 2x + 120 – 6x = 64
6) -4x = -56
7) x = 14
Resposta correta: B) 14 peças
📝 Desafio 8: Bilheteria do Cinema
Um cinema vendeu ingressos para adultos a R$ 24,00 e para crianças a R$ 12,00. Se foram vendidos 200 ingressos no total e a arrecadação foi de R$ 3.600,00, quantos ingressos de adulto foram vendidos?
A) 100 ingressos
B) 120 ingressos
C) 125 ingressos
D) 150 ingressos
Resolução:
1) Seja x o número de ingressos de adulto e y o de criança
2) Sistema: x + y = 200 (total de ingressos)
24x + 12y = 3600 (arrecadação)
3) Da primeira equação: y = 200 – x
4) Substituindo na segunda: 24x + 12(200 – x) = 3600
5) 24x + 2400 – 12x = 3600
6) 12x = 1200
7) x = 100
Resposta correta: A) 100 ingressos
📝 Desafio 9: Problema das Moedas
Um cofre contém apenas moedas de R$ 0,25 e R$ 0,50. Se há 120 moedas no total e o valor total é R$ 45,00, quantas moedas de R$ 0,50 existem no cofre?
A) 45 moedas
B) 60 moedas
C) 75 moedas
D) 90 moedas
Resolução:
1) Seja x o número de moedas de R$ 0,25 e y o de R$ 0,50
2) Sistema: x + y = 120 (total de moedas)
0,25x + 0,50y = 45 (valor total)
3) Da primeira equação: x = 120 – y
4) Substituindo na segunda: 0,25(120 – y) + 0,50y = 45
5) 30 – 0,25y + 0,50y = 45
6) 30 + 0,25y = 45
7) 0,25y = 15
8) y = 60
Resposta correta: B) 60 moedas
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