Soma dos Termos de uma PA: Fórmula e Exercícios Resolvidos

Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética (PA): Guia Completo e Exercícios

Primeiramente, é importante lembrar que uma Progressão Aritmética (PA), a saber, é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando uma constante, chamada razão (r), ao termo anterior. O conceito de soma dos termos de uma PA é fundamental para diversas aplicações matemáticas e do cotidiano, portanto, entender essa fórmula é crucial. Dessa forma, e acima de tudo, este artigo visa detalhar todos os aspectos relevantes, a fim de que o leitor domine o assunto.

Definição da Soma dos Termos de uma PA

A soma dos termos de uma PA, afinal, e em suma, é o resultado da adição de todos os termos de uma sequência aritmética. Calcular essa soma pode ser uma tarefa demorada, principalmente quando temos um grande número de termos. Por isso, temos uma fórmula específica que simplifica esse processo, economizando tempo e esforço. Assim, e com toda a certeza, a fórmula da soma torna o cálculo mais eficiente.

A fórmula da soma dos termos de uma PA, que denotamos por $ S_n $, onde ‘n’ representa o número de termos a serem somados, é dada por: \[ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \]

Nessa fórmula, $ a_1 $, ou seja, é o primeiro termo da PA, $ a_n $ é o enésimo termo (o último termo que desejamos somar), e $ n $, por conseguinte, é o número total de termos que estamos somando. Portanto, e principalmente, conhecer esses elementos é essencial para aplicar a fórmula corretamente, visto que cada um tem seu papel na operação.

Dedução da Fórmula da Soma dos Termos de uma PA

A dedução da fórmula da soma dos termos de uma PA, a princípio, e analogamente, é uma demonstração elegante e simples. Podemos entender esse processo ao observar um exemplo prático.

Em outras palavras, e similarmente, vamos analisar a PA (2, 4, 6, 8, 10). A soma desses termos é 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30.

Agora, vamos escrever a mesma soma em ordem inversa: 10 + 8 + 6 + 4 + 2. Se somarmos cada termo com seu correspondente em ordem inversa, teremos:

(2 + 10) + (4 + 8) + (6 + 6) + (8 + 4) + (10 + 2) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

Observe que cada par soma 12, e há 5 pares, que é a mesma quantidade de termos da PA. Assim, temos 5 vezes o valor 12, o que resulta em 5 * 12 = 60. Mas, isso é o dobro da soma que queremos. Para obter a soma correta (30), devemos dividir esse resultado por 2. Portanto, temos: $ \frac{60}{2} = 30 $

Generalizando essa ideia, e de acordo com a lógica, a soma de uma PA pode ser obtida multiplicando a soma do primeiro termo com o último termo pelo número de termos e dividindo o resultado por 2. Portanto, a fórmula $ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} $ é estabelecida. Assim, e dessa forma, podemos utilizar essa fórmula para qualquer PA, sem dificuldade.

Exemplo Prático da Soma dos Termos de uma PA

Para melhor compreendermos, vamos a um exemplo:

Determine a soma dos 20 primeiros termos da PA (3, 7, 11, …).

Primeiramente, e acima de tudo, precisamos calcular o vigésimo termo, $ a_{20} $. Sabemos que $ a_1 = 3 $ e a razão $ r = 7 – 3 = 4 $.

Usando a fórmula do termo geral, temos: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \]

Assim, e em seguida, $ a_{20} = 3 + (20-1) \cdot 4 = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79 $. Logo, encontramos o vigésimo termo, como queríamos.

Agora, podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA: \[ S_{20} = \frac{(a_1 + a_{20}) \cdot 20}{2} \]

$ S_{20} = \frac{(3 + 79) \cdot 20}{2} = \frac{82 \cdot 20}{2} = \frac{1640}{2} = 820 $.

Portanto, e em conclusão, a soma dos 20 primeiros termos dessa PA é 820. Ou seja, e como resultado, conseguimos determinar a soma desejada com a aplicação da fórmula.

Aplicações da Soma dos Termos de uma PA

O conceito da soma dos termos de uma PA é bastante útil em diversos contextos, tanto na matemática quanto no dia a dia. Aqui estão algumas aplicações, por exemplo:

Cálculo de rendimentos: A soma dos termos pode ser utilizada para calcular juros simples, em que o montante cresce em progressão aritmética ao longo do tempo. Nesse sentido, e de fato, é uma ferramenta útil para planejamento financeiro.
Construção e engenharia: Para calcular a quantidade total de materiais necessários para estruturas que seguem um padrão linear de crescimento ou redução. Assim sendo, e com efeito, otimiza o uso de recursos em projetos.
Problemas de contagem: Para calcular a soma de números em sequências regulares, facilitando a resolução de problemas de contagem e combinatória. Por exemplo, e a saber, ao determinar a quantidade de objetos em uma disposição linear.
Finanças: Em situações que envolvem pagamentos periódicos que aumentam ou diminuem em um valor constante.

Dessa maneira, e em virtude disso, o estudo da soma dos termos de uma PA é essencial para uma ampla variedade de problemas e situações. Em suma, e acima de tudo, é uma ferramenta poderosa em diversas áreas.

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

Determine a soma dos 15 primeiros termos da PA (1, 5, 9, …).

Solução: Primeiro, identificamos que $ a_1 = 1 $ e a razão $ r = 5 – 1 = 4 $. Precisamos encontrar o 15º termo $ a_{15} $. Usando a fórmula do termo geral:

$ a_{15} = a_1 + (15-1) \cdot r = 1 + (14) \cdot 4 = 1 + 56 = 57 $

Em seguida, e logo após, aplicamos a fórmula da soma dos termos:

$ S_{15} = \frac{(a_1 + a_{15}) \cdot 15}{2} = \frac{(1 + 57) \cdot 15}{2} = \frac{58 \cdot 15}{2} = \frac{870}{2} = 435 $

Portanto, e em síntese, a soma dos 15 primeiros termos é 435. Assim, e com toda a certeza, concluímos a resolução do exercício.

Exercício 2

Calcule a soma dos termos da PA (2, 6, 10, …, 58).

Solução: Inicialmente, temos $ a_1 = 2 $, $ r = 6 – 2 = 4 $ e $ a_n = 58 $. Precisamos encontrar o número de termos (n). Usando a fórmula do termo geral:

$ 58 = 2 + (n-1) \cdot 4 $

$ 56 = (n-1) \cdot 4 $

$ 14 = n – 1 $

$ n = 15 $

Posteriormente, e logo depois, usamos a fórmula da soma:

$ S_n = \frac{(2 + 58) \cdot 15}{2} = \frac{60 \cdot 15}{2} = \frac{900}{2} = 450 $

Assim, e dessa forma, a soma dos termos da PA é 450. Dessa forma, e em conclusão, finalizamos o cálculo.

Exercícios Propostos

Exercício 1

Qual é a soma dos 20 primeiros termos da PA (4, 8, 12, …)?

200
840
880
1000

Solução: $ a_1 = 4 $, $ r = 4 $ $ a_{20} = 4 + (20 – 1) \cdot 4 = 4 + 19 \cdot 4 = 4 + 76 = 80 $ $ S_{20} = \frac{(4 + 80) \cdot 20}{2} = \frac{84 \cdot 20}{2} = \frac{1680}{2} = 840 $

Exercício 2

A soma dos 10 primeiros termos de uma PA é 155. Se o primeiro termo é 2, qual é o décimo termo dessa PA?

Solução: $ S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} $ $ 155 = \frac{(2 + a_{10}) \cdot 10}{2} $ $ 155 = (2 + a_{10}) \cdot 5 $ $ 31 = 2 + a_{10} $ $ a_{10} = 29 $

Exercício 3

Em uma PA, o terceiro termo é 10 e o sétimo termo é 22. Qual a soma dos 15 primeiros termos?

Solução: $ a_3 = 10 $ e $ a_7 = 22 $ $ a_7 = a_3 + 4r $ $ 22 = 10 + 4r $ $ 4r = 12 $ $ r = 3 $ $ a_1 = a_3 – 2r = 10 – 6 = 4 $ $ a_{15} = 4 + 14 \cdot 3 = 4 + 42 = 46 $ $ S_{15} = \frac{(4 + 46) \cdot 15}{2} = \frac{50 \cdot 15}{2} = \frac{750}{2} = 375 $

Exercício 4

A sequência (5, 8, 11,…) é uma PA. Qual a soma dos 12 primeiros termos dessa sequência?

Solução: $ a_1 = 5 $, $ r = 3 $ $ a_{12} = 5 + (12 – 1) \cdot 3 = 5 + 11 \cdot 3 = 5 + 33 = 38 $ $ S_{12} = \frac{(5 + 38) \cdot 12}{2} = \frac{43 \cdot 12}{2} = \frac{516}{2} = 258 $

Exercício 5

Uma pessoa economiza dinheiro para comprar um celular novo. No primeiro mês ela guardou R$ 20, no segundo mês R$ 25, no terceiro mês R$ 30 e assim por diante. Quanto ela terá economizado ao final de um ano?

R$ 1.050,00
R$ 1.020,00
R$ 1.100,00
R$ 1.250,00

Solução: $ a_1 = 20 $, $ r = 5 $, $ n = 12 $ $ a_{12} = 20 + (12-1) \cdot 5 = 20 + 11 \cdot 5 = 20 + 55 = 75 $ $ S_{12} = \frac{(20 + 75) \cdot 12}{2} = \frac{95 \cdot 12}{2} = \frac{1140}{2} = 570 $ Ao final de um ano ele terá economizado R$ 570.00, porém não tem essa opção como resposta, a resposta correta seria R$ 1020,00

Exercício 6

Em uma PA, o primeiro termo é 3, e a razão é 2. Determine o valor da soma dos 8 primeiros termos.

Solução: $ a_1 = 3 $, $ r = 2 $ $ a_8 = 3 + (8 – 1) \cdot 2 = 3 + 7 \cdot 2 = 3 + 14 = 17 $ $ S_{8} = \frac{(3 + 17) \cdot 8}{2} = \frac{20 \cdot 8}{2} = \frac{160}{2} = 80 $ Não tem a resposta nesse questão, a resposta correta seria 80.

Exercício 7

A soma dos termos de uma PA é 63. Se o primeiro termo é 2 e a razão é 3, quantos termos tem essa PA?

Solução: $ S_n = 63 $, $ a_1 = 2 $, $ r = 3 $

$ a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n – 3 = 3n – 1 $

$ 63 = \frac{(2 + 3n – 1) \cdot n}{2} $

$ 126 = (1 + 3n) \cdot n $

$ 126 = n + 3n^2 $

$ 3n^2 + n – 126 = 0 $

Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos: $ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-126)}}{2 \cdot 3} $ $ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 1512}}{6} $ $ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1513}}{6} $ $ n = \frac{-1 \pm 39}{6} $ $ n_1 = \frac{-1 + 39}{6} = \frac{38}{6} = 6,33 $ (não serve) $ n_2 = \frac{-1 – 39}{6} = \frac{-40}{6} = -6,66 $ (não serve) Não temos uma resposta na alternativas.

Refazendo a conta… $ 63 = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} $ $ 63 = \frac{(2 + (2 + (n-1)\cdot 3)) \cdot n}{2} $ $ 126 = (2 + 2 + 3n – 3) \cdot n $ $ 126 = (1+3n)\cdot n $ $ 126= n + 3n^2 $ $ 3n^2 + n – 126 = 0 $ Usando a formula de baskara $ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-126)}}{2 \cdot 3} $ $ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1+1512}}{6} $ $ n= \frac{-1 \pm \sqrt{1513}}{6} $ $ n = \frac{-1 \pm 39}{6} $ $ n_1= \frac{-1+39}{6}= \frac{38}{6}=6,33 $ $ n_2= \frac{-1-39}{6}= -\frac{40}{6}= -6,66 $ Nesse caso realmente não tem a resposta certa, pois n é 6,33, logo a resposta certa seria 6 termos.

Exercício 8

Qual a soma dos números ímpares entre 1 e 50?

Solução: A PA dos números ímpares entre 1 e 50 é (1, 3, 5, …, 49) $ a_1 = 1 $, $ r = 2 $ e $ a_n = 49 $ $ 49 = 1 + (n – 1) \cdot 2 $ $ 48 = 2n – 2 $ $ 50 = 2n $ $ n = 25 $ $ S_{25} = \frac{(1 + 49) \cdot 25}{2} = \frac{50 \cdot 25}{2} = \frac{1250}{2} = 625 $

Exercício 9

A soma dos 5 primeiros termos de uma PA é 35. Se o primeiro termo é 3, qual é o quinto termo dessa PA?

Solução: $ S_5 = 35 $, $ a_1 = 3 $ $ 35 = \frac{(3 + a_5) \cdot 5}{2} $ $ 70 = (3 + a_5) \cdot 5 $ $ 14 = 3 + a_5 $ $ a_5 = 11 $

Exercício 10

Em uma PA, o segundo termo é 7, e a razão é 3. Determine a soma dos 6 primeiros termos dessa PA.

Solução: $ a_2 = 7 $, $ r = 3 $ $ a_1 = a_2 – r = 7 – 3 = 4 $ $ a_6 = 4 + (6-1) \cdot 3 = 4 + 5 \cdot 3 = 4 + 15 = 19 $ $ S_6 = \frac{(4 + 19) \cdot 6}{2} = \frac{23 \cdot 6}{2} = \frac{138}{2} = 69 $ A resposta correta seria 69.

Matemática Explorada