Matemática Explorada

Anteriormente, exploramos a adição de matrizes, uma operação fundamental na álgebra linear. Agora, dando seguimento aos nossos estudos, vamos abordar a subtração de matrizes, uma operação que, como veremos, é bastante similar à adição. Afinal, tanto na adição quanto na subtração, trabalhamos com elementos correspondentes das matrizes. Contudo, ao invés de somar, iremos subtrair. Nesse sentido, a compreensão da subtração de matrizes é essencial para que possamos realizar operações mais complexas e, assim, aprofundarmos nossos conhecimentos em álgebra linear. Portanto, este artigo tem o objetivo de apresentar a subtração de matrizes de forma clara e didática, com exemplos práticos e exercícios para você praticar.

Introdução à Subtração de Matrizes

Inicialmente, vamos relembrar que a adição de matrizes é realizada somando os elementos correspondentes de matrizes de mesma ordem. Dessa forma, a subtração de matrizes segue a mesma lógica: subtraímos os elementos correspondentes de matrizes de mesma ordem. A saber, a condição para realizar a subtração é a mesma da adição: as matrizes devem ter o mesmo número de linhas e colunas. Assim sendo, se uma matriz é 2×2, a outra matriz também deve ser 2×2 para que a subtração seja possível. Em outras palavras, não podemos subtrair uma matriz 2×3 de uma matriz 3×2.

Além disso, assim como na adição, a subtração de matrizes é uma operação que nos permite comparar valores e determinar as diferenças entre eles. Por exemplo, podemos usar a subtração de matrizes para comparar preços de produtos em diferentes meses ou para calcular a diferença de notas entre diferentes bimestres. De acordo com isso, a subtração de matrizes é uma ferramenta muito útil em diversas áreas, além de ser um conceito fundamental na matemática. Contudo, é importante destacar que a ordem das matrizes na subtração importa, uma vez que A – B é diferente de B – A, salvo em casos especiais.

Definição e Mecanismo da Subtração de Matrizes

A princípio, a definição formal da subtração de matrizes é muito simples. Assim, dadas duas matrizes A e B de mesma ordem (m x n), a matriz resultante C = A – B é obtida pela subtração dos elementos correspondentes de A e B. Nesse sentido, o elemento c_ij da matriz C é igual à diferença entre o elemento a_ij da matriz A e o elemento b_ij da matriz B. Ou seja:

\[ C = A – B \] \[ c_{ij} = a_{ij} – b_{ij} \]

Para ilustrar melhor, vamos analisar um exemplo prático. Suponha que temos as matrizes A e B abaixo, ambas de ordem 2×2:

Então, para calcular a matriz resultante C = A – B, subtraímos os elementos nas mesmas posições:

Em outras palavras, o elemento c₁₁ (primeira linha e primeira coluna) é a subtração de a₁₁ (que é 5) por b₁₁ (que é 1), resultando em 4. Analogamente, todos os elementos da matriz C são obtidos pela mesma operação. Portanto, a subtração de matrizes, assim como a adição, é bastante intuitiva.

Figura 1: A ilustração demonstra como cada elemento da matriz é subtraído elemento a elemento.

Exemplos Práticos de Subtração de Matrizes

Agora que já entendemos o mecanismo da subtração de matrizes, vamos analisar outros exemplos com matrizes de diferentes ordens. Assim sendo, vamos explorar diversas situações, inclusive com números negativos e frações. Lembre-se, sempre que as matrizes a serem subtraídas devem ter a mesma ordem.

Exemplo 1: Matrizes 3×2

Considere as matrizes D e E, ambas de ordem 3×2:

Então, a matriz resultante F = D – E é calculada subtraindo os elementos correspondentes:

Exemplo 2: Matrizes 2×2 com Elementos Negativos

Outrossim, podemos subtrair matrizes com números negativos. Por exemplo, considere as matrizes G e H:

Nesse caso, a subtração I = G – H é:

Dessa forma, a subtração é realizada elemento a elemento, independentemente dos valores dos elementos serem positivos ou negativos. Desse modo, o processo é sempre o mesmo.

Subtração como Adição com Oposto

Curiosamente, a subtração de matrizes pode ser vista como a adição da matriz oposta. Ou seja, subtrair uma matriz B de A é equivalente a adicionar a matriz oposta de B à matriz A. Matematicamente, podemos escrever:

\[ A – B = A + (-B) \]

A saber, a matriz oposta de B (-B) é obtida trocando o sinal de todos os elementos de B. Por exemplo, se B = \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] , então -B = \[ \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} \] . Assim, podemos reescrever a subtração como uma adição, o que pode facilitar alguns cálculos e demonstrações. Nesse sentido, essa propriedade é muito útil na álgebra linear.

Para ilustrar melhor, vamos retomar o exemplo anterior, onde A = \[ \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 2 & 9 \end{bmatrix} \] e B = \[ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \] . Então, -B = \[ \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} \] . Dessa maneira, A – B é equivalente a A + (-B):

Como podemos ver, o resultado é o mesmo de antes, demonstrando que a subtração pode ser entendida como uma adição com o oposto. Portanto, essa propriedade nos permite manipular matrizes de forma mais flexível.

Exercícios de Fixação (Exclusivos para Subtração)